Question

【題目】如圖①所示，將兩邊AD與BC平行的紙條ABCD沿BD折疊，使點C落在C′處，AD與BC′相交于點E．

（1）求證：BE＝DE；

（2）如圖②，分別過點B，D作BM⊥AD，DN⊥BC′，垂足分別為M，N．求證：△BMD≌△DNB；

（3）若BM＝4cm，DM＝8cm，求ME的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）3

【解析】

（1）根據平行線的性質可得：∠EDB＝∠DBC，再根據折疊的性質可得：∠DBC＝∠EBD，從而得出：∠EBD＝∠EDB，由等角對等邊可得：BE＝DE；

（2）利用AAS即可證明△BME≌△DNE，從而得出BM＝DN，再利用HL即可證出Rt△BMD≌Rt△DNB；

（3）由（1）中可知：BE＝DE＝DM﹣ME，再根據勾股定理列方程即可求出ME.

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∵將兩邊AD與BC平行的紙條ABCD沿BD折疊，使點C落在C′處，

∴∠DBC＝∠EBD，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴BE＝DE；

（2）證明：∵BM⊥AD，DN⊥BC′，

∴∠BME＝∠DNE＝90°，

在△BME與△DNE中，

，

∴△BME≌△DNE（AAS），

∴BM＝DN，

在Rt△BMD與Rt△DNB中

，

∴Rt△BMD≌Rt△DNB（HL）；

（3）解： ∵BM＝4cm，DM＝8cm，BE＝DE

∴BE＝DE＝DM﹣ME＝8﹣ME，

∴BM2+EM2＝BE2，

即42+ME2＝（8﹣ME）2，

∴ME＝3．