Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上兩點，CF⊥AB于點F，CE⊥AD交AD的延長線于點E，且CE=CF．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）連接CD，CB．若AD=CD=a，寫出求四邊形ABCD面積的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，AC．

∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF．

∴∠CAE=∠CAB．

∵OC=OA，

∴∠CAB=∠OCA．

∴∠CAE=∠OCA．

∴OC∥AE．

∴∠OCE+∠AEC=180°，

∵∠AEC=90°，

∴∠OCE=90°即OC⊥CE，

∵OC是⊙O的半徑，點C為半徑外端，

∴CE是⊙O的切線

（2）解：求解思路如下：

①由AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知DC∥AB；

= ，

②由OC∥AE，OC=OA，可知四邊形AOCD是菱形；

③由∠CAE=∠CAB，得到CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC為等邊三角形；

④由等邊△OBC可求高CF的長，進而可求四邊形ABCD面積．

解：∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，

∴DC∥AB，

∵∠CAE=∠OCA，

∴OC∥AD，

∴四邊形AOCD是平行四邊形，

∴OC=AD=a，AB=2a，

∵∠CAE=∠CAB，

∴CD=CB=a，

∴CB=OC=OB，

∴△OCB是等邊三角形，

在Rt△CFB中，CF= = ，

∴S四邊形ABCD= （DC+AB）CF= a2．

【解析】（1）連接OC，AC，可先證明AC平分∠BAE，結合圓的性質可證明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可證得結論；（2）可先證得四邊形AOCD為平行四邊形，再證明△OCB為等邊三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面積公式可求得答案．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和垂徑定理的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．