Question

【題目】如圖1，在△ABC中，在BC邊上取一點P，在AC邊上取一點D，連AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP與△CDP相似，我們稱△APD是AC邊上的“等腰鄰相似三角形”.

(1)如圖2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，則∠PAC的度數是___；

(2)如圖3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC邊上至少存在一個“等腰鄰相似△APD”，請畫出一個AC邊上的“等腰鄰相似△APD”，并說明理由；

(3)如圖4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB邊上的“等腰鄰相似三角形”，請寫出AD長度的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）AD的長為1或或.

【解析】

（1）根據等邊對等角和三角形外角的性質證明∠B＝∠PAB即可解決問題．

（2）如圖3中，作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根據平行線的性質和角平分線定義可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，結合∠A=2∠C可證△APD是等腰三角形且△APB與△CDP相似，即可解決問題．

（3）分三種情形討論：如圖3′中，當DA＝DP時；如圖4中，當PA＝PD時；如圖5中，當AP＝AD時；分別求解即可解決問題．

解：（1）如圖2中，

∵AB＝AC，DA＝DP，

∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA，

∵∠PAC＝∠BPD，

∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA，

∵∠APC＝∠B＋∠BAP，

∴∠B＝∠PAB＝50°，

∵∠BAC＝180°50°50°＝80°，

∴∠PAC＝30°

故答案為30°；

（2）如圖3中，△APD是AC邊上的“等腰鄰相似三角形”，

理由：作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，

∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，

∴DP=DA，

∵∠CAB=2∠C，

∴∠BAP =∠C，

∴△APD是等腰三角形且△APB與△CDP相似，

∴△APD是AC邊上的“等腰鄰相似三角形”；

（3）如圖3′中，當DA=DP時，設∠APD=∠DAP=x，

①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，

∴90°-x+2x+x=180°，

∴x=45°，

∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；

②若∠PDB=∠CAP時，設∠APD=∠DAP=x，

得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，

設AD=a，則AP=

∵△BPD∽△CPA，

∴，即，

解得 ，

如圖4中，當PA=PD時，易知∠PDB是鈍角，∠CAP是銳角，

∴∠PDB=∠CPA，則△BPD≌△CPA，

設AD=a，則BD=2-a，，AC=2，

，

解得a=，

如圖5中，當AP=AD時，設∠APD=∠ADP=x，則∠DAP=180°-2x，易知∠PDB為鈍角，∠CAP為銳角，

∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，

在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，

解得x=45°，不可能成立．

綜上所述．AD的長為1或或.