Question

【題目】如圖，已知拋物線m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點A在x軸上，并過點B（0，1），直線n：y=﹣ x+ 與x軸交于點D，與拋物線m的對稱軸l交于點F，過B點的直線BE與直線n相交于點E（﹣7，7）．

（1）求拋物線m的解析式；
（2）P是l上的一個動點，若以B，E，P為頂點的三角形的周長最小，求點P的坐標；
（3）拋物線m上是否存在一動點Q，使以線段FQ為直徑的圓恰好經過點D？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的頂點A在x軸上,

∴配方得y=a（x﹣3）2﹣9a+1，則有﹣9a+1=0，解得a=

∴A點坐標為（3，0），拋物線m的解析式為y= x2﹣ x+1

（2）

解：∵點B關于對稱軸直線x=3的對稱點B′為（6，1）∴連接EB′交l于點P，如圖所示

設直線EB′的解析式為y=kx+b，把（﹣7，7）（6，1）代入得

解得 ，

則函數解析式為y=﹣ x+

把x=3代入解得y= ，

∴點P坐標為（3， ）；

（3）

解：∵y=﹣ x+ 與x軸交于點D，

∴點D坐標為（7，0），

∵y=﹣ x+ 與拋物線m的對稱軸l交于點F，

∴點F坐標為（3，2），

求得FD的直線解析式為y=﹣ x+ ，若以FQ為直徑的圓經過點D，可得∠FDQ=90°，則DQ的直線解析式的k值為2，

設DQ的直線解析式為y=2x+b，把（7，0）代入解得b=﹣14，則DQ的直線解析式為y=2x﹣14，

設點Q的坐標為（a， ），把點Q代入y=2x﹣14得

=2a﹣14

解得a1=9，a2=15．

∴點Q坐標為（9，4）或（15，16）

【解析】（1）拋物線頂點在x軸上則可得出頂點縱坐標為0，將解析式進行配方就可以求出a的值，繼而得出函數解析式；（2）利用軸對稱求最短路徑的方法，首先通過B點關于l的對稱點B′來確定P點位置，再求出直線B′E的解析式，進而得出P點坐標；（3）可以先求出直線FD的解析式，結合以線段FQ為直徑的圓恰好經過點D這個條件，明確∠FDG=90°，得出直線DG解析式的k值與直線FD解析式的k值乘積為﹣1，利用D點坐標求出直線DG解析式，將點Q坐標用拋物線解析式表示后代入DG直線解析式可求出點Q坐標．本題考查的知識點是二次函數性質、一次函數性質、軸對稱性質，解題的關鍵是明確找線段和最小的點要通過軸對稱性質找對稱點，以線段FQ為直徑的圓恰好經過點D則要轉化為∠FDG=90°的條件來考慮．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．