Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)記為M，自變量x=﹣1和x=5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．若點(diǎn)M在直線(xiàn)l：y=﹣12x+16上，點(diǎn)（3，﹣4）在拋物線(xiàn)上．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)y=ax2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為P，在x軸上有一點(diǎn)A（﹣ ，0），試比較銳角∠PCO與∠ACO的大小（不必證明），并寫(xiě)出相應(yīng)的P點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍．
（3）直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)另一交點(diǎn)記為B，Q為線(xiàn)段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與M重合），設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，n），過(guò)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，將以點(diǎn)Q，H，O，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積S表示為t的函數(shù)，標(biāo)出自變量t的取值范圍，并求出S可能取得的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵自變量x=﹣1和x=5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2．

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)l：y=﹣12x+16上，

∴yM=﹣8．

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．

將（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x+8

（2）

解：由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），

如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，

設(shè)CP的延長(zhǎng)線(xiàn)交x軸于D，

則△ACD是等腰三角形，

∴OD=OA= ，

∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4x2﹣16x+8，

∵PH∥OD，

∴△CHP∽△COD，

∴ ，

∴x= ，

過(guò)C作CE∥x軸交拋物線(xiàn)與E，

則CE=4，

設(shè)拋物線(xiàn)與x軸交于F，B，

則B（2+ ，0），

∴y=ax2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)x軸上方的圖象上任一點(diǎn)為P，

∴當(dāng)x= 時(shí)，∠PCO=∠ACO，

當(dāng)2+ ＜x＜ 時(shí)，∠PCO＜∠ACO，

當(dāng) ＜x＜4時(shí)，∠PCO＞∠ACO

（3）

解：解方程組 ，

解得： ，

∴D（﹣1，28），

∵Q為線(xiàn)段BM上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與M重合），

∴Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），

①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，S= （﹣t）（﹣12t+16﹣8）+8（﹣t）=6t2﹣12t=6（t﹣1）2﹣6，

∵﹣1≤t＜0，

∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，S最大=18；

②當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，S= t8+ t（﹣12t+16）=﹣6t2+12t=﹣6（t﹣1）2+6，∵0＜t＜ ，

∴當(dāng)t=﹣1時(shí)，S最大=6；

③當(dāng) ＜t＜2時(shí)，S= t8+ （12t﹣16）=6t2﹣4t=6（t﹣ ）2﹣ ，

∵ ＜t＜2，

∴此時(shí)S為最大值．

【解析】（1）根據(jù)已知條件得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2．設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣2）2﹣8．將（3，﹣4）代入得拋物線(xiàn)的解析式為y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到結(jié)論；（2）由題意得：C（0，8），M（2，﹣8），如圖，當(dāng)∠PCO=∠ACO時(shí)，過(guò)P作PH⊥y軸于H，設(shè)CP的延長(zhǎng)線(xiàn)交x軸于D，則△ACD是等腰三角形，于是得到OD=OA= ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到x= ，過(guò)C作CE∥x軸交拋物線(xiàn)與E，則CE=4，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸交于F，B，則B（2+ ，0），于是得到結(jié)論；（3）解方程組得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t+16）（﹣1≤t＜2），①當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，②當(dāng)0＜t＜ 時(shí)，③當(dāng) ＜t＜2時(shí)，求得二次函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．