Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AE平分∠BAC交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC．

(1)判斷直線l與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點F，求證：BE＝EF；

(3)在(2)的條件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）直線l與⊙O相切，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OE，由題意可證明，根據垂徑定理的推論可證明OE⊥BC，于是可證明OE⊥l，故可證明直線l與⊙O相切；

（2）先由角平分線的定義可知∠ABF＝∠CBF，然后再證明∠CBE＝∠BAF，于是可得到∠EBF＝∠EFB，最后依據等角對等邊證明BE＝EF即可；

（3）先求得BE的長，然后證明△BED∽△AEB，由相似三角形的性質可求得AE的長，于是可得到AF的長．

解：（1）直線l與⊙O相切；

理由：如圖所示：連接OE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∴，

∴OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

∴直線l與⊙O相切；

(2)∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，

∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF．

又∵∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF；

(3)由(2)，得BE＝EF＝DE＋DF＝7，

∵∠DBE＝∠BAE，∠DEB＝∠BEA，

∴△BED∽△AEB，

∴，即，

解得AE＝，

∴AF＝AE－EF＝－7＝．