Question

（2012•安岳縣模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABD交AD于點E，DF平分∠BDC交BC于點F．
（1）求證：BE=DF．
（2）若AB=BD，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由“有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形”證得四邊形EBFD為平行四邊形，然后根據“平行四邊形的對邊相等”的性質證得結論；
（2）根據等腰三角形的“三合一”的性質推知BE⊥AD，然后由“有一內角為直角的平行四邊形是矩形”證得四邊形EBFD是矩形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD∥BA，
∴∠BDA=∠CDB（兩直線平行，內錯角相等）．
又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠DBE=

1

2

∠BDA，∠FDB=

1

2

∠CDB，
∴∠DBE=∠FDB（等量代換），
∴DF∥EB（內錯角相等，兩直線平行），
∴四邊形EBFD是平行四邊形（有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形），
∴BE=DF（平行四邊形的對邊相等）；

（2）解：四邊形EBFD是矩形；理由如下：
由（1）知，四邊形EBFD是平行四邊形．
∵AB=BD，BE是∠ABD的平分線，
∴BE⊥AD，
∴∠DEB=90°，
∴?EBFD是矩形（有一內角為直角的平行四邊形是矩形）．

點評：本題考查矩形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質．平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．