Question

【題目】如圖，兩塊大小不等的等腰直角三角形按圖1放置，點為直角頂點，點在上，將繞點順時針旋轉角度，連接、.

（1）若，則當 時，四邊形是平行四邊形；

（2）圖2，若于點，延長交于點，求證：是的中點；

（3）圖3，若點是的中點，連接并延長交于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）時，四邊形是平行四邊形；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）當AC∥DE時，因為AC=DE，推出四邊形ACDE是平行四邊形，利用平行四邊形的性質即可解決問題．

（2）如圖2中，作DM⊥FM于M，BN⊥FM交FM的延長線于N．利用全等三角形的性質證明BN=DM，再證明△BNG≌△DMG（AAS）即可解決問題．

（3）如圖3中，延長CM到K，使得MK=CM，連接AK．KM．想辦法證明△BCD≌△CAK（SAS），即可解決問題．

（1）解：如圖1-1中，連接AE．

當AC∥DE時，∵AC=DE，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，

∴∠ACE=∠CED，

∵CE=CD，∠ECD=90°，

∴∠CED=45°，

∴α=∠ACE=45°．

故答案為45．

（2）證明：如圖2中，作DM⊥FM于M，BN⊥FM交FM的延長線于N．

∵CF⊥AE，DM⊥FM，

∴∠CFE=∠CMD=∠ECD=90°，

∴∠ECF+∠CEF=90°，∠ECF+∠DCM=90°，

∴∠CEF=∠DCM，∵CE=CD，

∴△CFE≌△DMC（AAS），

∴DM=CF，

同法可證：CF=BN，

∴BN=DM，

∵BN⊥FM，

∴∠N=∠DMG=90°，

∵∠BGN=∠DGM，

∴△BNG≌△DMG（AAS），

∴BG=DG，

∴點G是BD的中點．

（3）證明：如圖3中，延長CM到K，使得MK=CM，連接AK．KM．

∵AM-ME，CM=MK，

∴四邊形ACEK是平行四邊形，

∴AK=CE=CD，AK∥CE，

∴∠KAC+∠ACE=180°，

∵∠ACE+∠BCD=180°，

∴∠BCD=∠KAC，

∵CA=CB，CD=AK，

∴△BCD≌△CAK（SAS），

∵∠ACK=∠CBD，

∵∠ACK+∠BCN=90°，

∴∠CBD+∠BCN=90°，

∴∠CNB=90°，

∴CN⊥BD．