Question

　如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格，將邊長為n（n為整數，且2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n－1)×(n－1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.

請你認真觀察思考后回答下列問題：

（1）由于正方形紙片邊長n的取值不同，完成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同，請填寫下表：

紙片的邊長n	2	3	4	5	6
使用的紙片張數

（2）設正方形ABCD被紙片蓋住的面積（重合部分只計一次）為S₁，未被蓋住的面積為S₂.

①當n＝2時，求S₁∶S₂的值；

②是否存在使得S₁＝S₂的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解（1）依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.

（2）S₁＝n²+(12－n)[n²－(n－1)²]＝－n²+25n－12.

①當n＝2時，S₁＝－2²+25×2－12＝34，S₂＝12×12－34＝110.

所以S₁∶S₂＝34∶110＝17∶55.

②若S₁＝S₂，則有－n²+25n－12＝×12²，即n²－25n+84＝0，

解這個方程，得n₁＝4，n₂＝21（舍去）.

所以當n＝4時，S₁＝S₂.所以這樣的n值是存在的.

說明　求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進而構造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數根來加以判斷.