Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別于BC，AC相交于點D，E，BD=CD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求的長（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由切線的性質即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質即可得出，根據平行線的性質即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；

（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據弧長公式即可得出結論．

試題解析：（1）證明：連接OD，如圖所示．∵DF是⊙O的切線，D為切點，∴OD⊥DF，∴∠ODF=90°．

∵BD=CD，OA=OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，∴DF⊥AC．

（2）解：∵∠CDF=30°，由（1）得∠ODF=90°，∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∴的長===．