Question

【題目】如圖，已知直線與軸交于點，與軸交于點將沿軸折疊，使點落在軸的點上，設為線段上的一個動點，點與點不重合，連接．以點為端點作射線交線段于點使．

求點的坐標；

當時，求直線的解析式；

是否存在點使為直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，．

【解析】

（1）先利用待定系數法求得函數關系式，進而求得點B坐標，再利用對稱性求得C的坐標即可；

（2）先利用軸對稱性及三角形的外角性質證得，再根據勾股定理求得AC長，利用“ASA”可證得，進而可求得BM，AM的長，過點作軸于點，由此可得，利用相似三角形的性質可求得點M的坐標，最后利用待定系數法即可求得直線CM的函數關系式；

（3）分類討論，當時，則有，利用相似三角形的性質可求得點的坐標，當時，則，進而可證得，再根據過點只有一條直線與垂直，即可求得此時的點的坐標為

解：（1）∵直線與軸相交于點

∴

直線的解析式為

令則

點與點關于軸對稱，

（2）∵點與點關于軸對稱

在△PAC與△MPB中，

（ASA）

過點作軸于點．

，

點的坐標是

又點的坐標為

設直線CM為，

則，

解得

直線的解析式為；

（3）存在，，

由題意，得

當時，則有

，即

，即

當時，則

過點只有一條直線與垂直，

此時點與點重合，即符合條件的點的坐標為

使為直角三角形的點有兩個，，