Question

【題目】如圖，，點、都在射線上，，，是射線上的一個動點，過、、三點作圓，當該圓與相切時，其半徑的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

圓C過點P、Q，且與相切于點M，連接CM，CP，過點C作CN⊥PQ于N并反向延長，交OB于D，根據等腰直角三角形的性質和垂徑定理，即可求出ON、ND、PN，設圓C的半徑為r，再根據等腰直角三角形的性質即可用r表示出CD、NC，最后根據勾股定理列方程即可求出r．

解：如圖所示，圓C過點P、Q，且與相切于點M，連接CM，CP，過點C作CN⊥PQ于N并反向延長，交OB于D

∵，，

∴PQ=OQ－OP=4

根據垂徑定理，PN=

∴ON=PN＋OP=4

在Rt△OND中，∠O=45°

∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，OD=

設圓C的半徑為r，即CM=CP=r

∵圓C與相切于點M，

∴∠CMD=90°

∴△CMD為等腰直角三角形

∴CM=DM=r，CD=

∴NC=ND－CD=4－

根據勾股定理可得：NC2＋PN2=CP2

即

解得：（此時DM＞OD，點M不在射線OB上，故舍去）

故答案為：．