Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA=CB,∠ACB＝90°，D為AB邊上的中點，M,N分別為AC,BC上的點，且DMDN,試說明AB=2（CM+CN）。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質和等腰直角三角形斜邊上的中線性質得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根據“ASA”可判斷△CMD≌△BDN，則CM=BN，又由AC＝BC可得AM＝CN，即CM+CN＝AC＝AB，在直角△ABC中AC2+BC2＝AB2，即2AC2＝AB2，根據等量代換可得：AB=2（CM+CN）.

試題解析：

如圖，連接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D為斜邊AB的中點，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

,

∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，

又∵AC＝BC，

∴AM＝CN，

∴CM+CN＝AC＝AB，

在直角△ABC中AC2+BC2＝AB2，

∴2AC2＝AB2，

∴AB=2（CM+CN）.