Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．

（1）求證：CG是⊙O的切線．

（2）求證：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）2

【解析】

試題分析：（1）連結OC，由C是劣弧AE的中點，根據垂徑定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連結AC、BC，根據圓周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，則∠CDB=90°，根據等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根據平行線分線段成比例得到DA：AG=DF：CF

然后把DF=1，AD=，CF=2代入計算即可．

（1）證明：連結OC，如圖，

∵C是劣弧AE的中點，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：連結AC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵C是劣弧AE的中點，

∴=，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；

（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，

∴DF=AF=1，

∴AD=DF=，

∵AF∥CG，

∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，

∴AG=2．