【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，點E，F分別是BC，AC的中點.
(1)求證：DF⊥DE.
(2)若AC=8，BC=6，求EF的長.
【答案】(1)證明見解析；(2)EF=5.
【解析】
(1)利用垂直的定義，可得△CDB和△ADC是直角三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得DF=AF，DE=BE，再利用等邊對等角，易證∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，然后證明∠EDF=90°，即可得出結論；
(2) 根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出DE，DF的長，再利用勾股定理求出EF的長.
(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵點E、F分別是BC、AC的中點，
∴DF=AF，DE=BE，
∴∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADF+∠EDB=90°，
∴∠EDF=90°，即DF⊥DE；
(2)∵AC=8，BC=6，
∴DF=4，DE=3，
∴EF=
=5.
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【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）若P是第四象限內這個二次函數的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．
①求線段PM的最大值；
②當△PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標．
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【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE,聯結BD與CE交于點F，BD交AE于點G.
(1)求證:△AEC≌△ADB ;
(2)若AB=2,∠ACB=67.5°，AC∥DF ，求BD的長.
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【題目】小亮在某橋附近試飛無人機，如圖，為了測量無人機飛行的高度AD，小亮通過操控器指令無人機測得橋頭B，C的俯角分別為∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平線上．已知橋BC=30米，求無人機飛行的高度AD．（精確到0.01米．參考數據：
≈1.414，
≈1.732）
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【題目】如圖1， 在
中，
，
.點O是BC的中點，點D沿B→A→C方向從B運動到C.設點D經過的路徑長為
，圖1中某條線段的長為y，若表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的 ( )
圖1 圖2
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=﹣
+bx+c的圖象經過點A（1，0），且當x=0和x=5時所對應的函數值相等．一次函數y=﹣x+3與二次函數y=﹣
+bx+c的圖象分別交于B，C兩點，點B在第一象限．
（1）求二次函數y=﹣+bx+c的表達式；
（2）連接AB，求AB的長；
（3）連接AC，M是線段AC的中點，將點B繞點M旋轉180°得到點N，連接AN，CN，判斷四邊形ABCN的形狀，并證明你的結論．
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【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5cm，DF＝4cm，那么EF的長為（ ）
A. 6.5cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4cm
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【題目】綜合與實踐：
如圖1，已知△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想：在圖1中，線段PM與PN的數量關系是 ，∠MPN的度數是 ；
（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，
①判斷△PMN的形狀，并說明理由；
②求∠MPN的度數；
（3）拓展延伸：若△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，點DE分別在邊AB，AC上，AD=AE=4，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，如圖3，請直接寫出△PMN面積的最大值．
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