【題目】如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于O，MN過點O且與BC平行．△ABC的周長為20，△AMN的周長為12，則BC的長為（ ）
A. 10 B. 16 C. 8 D. 4
【答案】C
【解析】
由BO為角平分線，得到一對角相等，再由MN平行于BC，利用兩直線平行內錯角相等，得到一對角相等，等量代換可得出∠MBO=∠MOB，利用等角對等邊得到MO=MB，同理得到NO=NC，而三角形ABC的周長等于三邊相加，即AB+BC+AC，其中AB=AM+MB，AC=AN+NC，等量代換后可得出三角形ABC的周長等于三角形AMN的周長與BC的和，即BC等于兩三角形的周長之差，將兩三角形的周長代入，即可求出BC的長．
解：∵OB平分∠MBC，
∴∠MBO=∠OBC，
又MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MOB=∠MBO，
∴MB=MO，同理可得∠NOC=∠NCO，
∴NO=NC，
∴（AB+AC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MB+AN+NC+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+MO+AN+NO+BC）-（AM+AN+MN）
=（AM+AN+MN+BC）-（AM+AN+MN）
=BC，
又∵△ABC的周長為20，△AMN的周長為12，即AB+AC+BC=20，AM+AN+MN=12，
則BC=20-12=8．
故選：C．
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【題目】某手機專營店代理銷售A、B兩種型號手機．手機的進價、售價如下表：
型號 | A | B |
進價 | 1800元/部 | 1500元/部 |
售價 | 2070元/部 | 1800元/部 |
（1）第一個月：用54000元購進A、B兩種型號的手機，全部售完后獲利9450元，求第一個月購進A、B兩種型號手機的數量；
（2）第二個月：計劃購進A、B兩種型號手機共34部，且不超出第一個月購進A、B兩種型號的手機總費用，則A型號手機最多能購多少部？
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【題目】如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°，試說明：∠GDC＝∠B．請補充說明過程，并在括號內填上相應的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° ，
∴EF∥AD（ ），
∴ +∠2＝180°（ ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ ），
∴AB∥ （ ），
∴∠GDC＝∠B（ ）．
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【題目】如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm／s。
⑴連接AQ、CP交于點M，在點P、Q運動的過程中，∠CMQ的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，請直接寫出它的度數；
⑵點P、Q在運動過程中，設運動時間為t，當t為何值時，△PBQ為直角三角形？
⑶如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ的大小變化嗎？則說明理由；若不變，請求出它的度數。
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【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F是AD邊上的動點，E是AC邊上一點．若AE＝2，當EF＋CF取得最小值時，∠ECF的度數為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【題目】在平面直角坐標系xOy中，若P，Q為某個菱形相鄰的兩個頂點，且該菱形的兩條對角線分別與x軸，y軸平行，則稱該菱形為點P，Q的“相關菱形”．圖1為點P，Q的“相關菱形”的一個示意圖． 
已知點A的坐標為（1，4），點B的坐標為（b，0），
（1）若b=3，則R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能夠成為點A，B的“相關菱形”頂點的是；
（2）若點A，B的“相關菱形”為正方形，求b的值；
（3）⊙B的半徑為 
，點C的坐標為（2，4）．若⊙B上存在點M，在線段AC上存在點N，使點M，N的“相關菱形”為正方形，請直接寫出b的取值范圍．
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【題目】在邊長為5的正方形ABCD中，點E，F分別是BC，DC邊上的兩個動點（不與點B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如圖1，當BE=2時，求FC的長；
（2）延長EF交正方形ABCD外角平分線CP于點P．
①依題意將圖2補全；
②小京通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有AE=PE．小京把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的三種想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，連接EG，要證AE=PE，需證△AGE≌△ECP．
想法2：作點A關于BC的對稱點H，連接BH，CH，EH．要證AE=PE，需證△EHP為等腰三角形．
想法3：將線段BE繞點B順時針旋轉90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE=PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．
請你參考上面的想法，幫助小京證明AE=PE．（一種方法即可）
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