Question

【題目】如圖，在連長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點H，連接DH.下列結論正確的個數是（ ）

①△ABG∽△FDG；②HD平分∠EHG；③AG⊥BE；④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG；⑤線段DH的最小值是2-2

A．2 B．3 C．4 D．5

Answer 1

【答案】C．

【解析】

試題解析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG，

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正確，

同法可證：△AGB≌△CGB，

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正確，

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，

又∵∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正確

取AB的中點O，連接OD、OH，

∵正方形的邊長為4，

∴AO=OH=×4=2，

由勾股定理得，OD=，

由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，

DH最小=2﹣2．

無法證明DH平分∠EHG，故②錯誤，

故①③④⑤正確，

故選C．