Question

【題目】拋物線y＝ax2＋bx＋3經過點A，B，C，已知A（－1，0），B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，延長DP交x軸于點F，M（m，0）是x軸上一動點，N 是線段DF上一點，當△BDC的面積最大時，若∠MNC＝90°，請直接寫出實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝－x2＋2 x＋3；

（2）點P的坐標（， ）；

（3）實數m的取值范圍是0≤m≤

【解析】解：（1）由題意得： ，解得： ，

∴拋物線解析式為y＝－x2＋2 x＋3．

（2）在y＝－x2＋2 x＋3中，當x＝0，y＝3，即C（0，3），

設直線BC的解析式為y＝kx＋b＇，則 解得

∴直線BC的解析式為y＝－x＋3．

設P（x，3－x），則D（x，－x2＋2 x＋3）

∴S△BDC ＝S△PDC ＋S△PDB＝PD·x＋PD·（3－x）

＝ PD×3＝（－x2＋3 x）

＝（x）2＋．

∴當x＝時，△BDC的面積最大，

此時P（， ）

（3）0≤m≤

提示：將x＝代入y＝－x2＋2 x＋3，得

y＝，∴點D的坐標為（， ），

過C點作CG⊥DF，則CG＝．

點N在DG上時，點N與點D重合時，

點M的橫坐標最大．

∵∠ MNC＝90°，∴，

∵C（0，3），D（， ），M（m，0），

∴ ，

解得m＝．即點M的坐標為（，0），即m的最大值為；

點N在線段GF上時，設GN＝x，則NF＝3－x，易證：Rt△NCG∽Rt△MNF，

∴，即，整理得，

MF＝＝，∴當x＝時（N與P重合），MF有最大值，

此時，M與O重合，∴M的坐標為（0，0），∴m的最小值為0，

故實數m的取值范圍為0≤m≤．