Question

（2012•思明區質檢）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=8，BC=10，∠B為銳角，tan∠B=

4

3

．E為線段AB上的一個動點（不包括端點），EF⊥AB，交射線BC于點G，交射線DC于點F．
（1）若點G在線段BC上，求△BEG與△CFG的周長之和；
（2）判斷在點E的運動過程中，△AED與△CGD是否會相似？如果相似，請求出BE的長；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：由三角形的周長公式知C_△BEG+C_△CFG=BE+CF+EF+BC，所以下一步求得線段BE、CF、EF和BC的長度即可；通過作輔助線CH構建矩形EFCH，利用矩形的對邊相等的性質推知CF=EH，EF=CH；然后在Rt△BHC中，利用正切三角函數定義、勾股定理求得BH=6，CH=8，則EF=CH=8，BE+CF=BH=6；
方法二：設BE=3k．在Rt△BEG中，利用勾股定理，銳角三角函數的定義求得EG=4k，BG=5k；然后利用平行四邊形ABCD的性質推知CG=BC-BG=10-5k，在Rt△CFG中，GF=8-4k，CF=6-3k；最后由三角形的周長公式求得C_△BEG+C_△CFG=24；
（2）需要分類討論：①當0＜BE＜6時，△AED與△CGD相似；②當BE=6時，點G與點C重合，不存在△CGD與△AED相似；③當6＜BE＜8時，不存在△CGD與△AED相似．

解答：解：（1）方法一：如圖1，過點C作CH⊥AB于H，
∵C_△BEG=BE+EG+BG，C_△CFG=CF+FG+CG，
∴C_△BEG+C_△CFG=BE+CF+EF+BC；
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，
∴∠EFC=∠BEF=90°，又CH⊥AB，
∴四邊形EFCH為矩形．
∴CF=EH，EF=CH；
在Rt△BHC中，BC=10，tan∠B=

4

3

，
可求得BH=6，CH=8，
∴EF=CH=8，BE+CF=BH=6．
∴C_△BEG+C_△CFG=6+8+10=24；
方法二：設BE=3k．
∵tan∠B=

4

3

，
∴

EG

BE

=

4

3

，
∴EG=4k，BG=5k；
在平行四邊形ABCD中，∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴∠BCF=∠B，CG=BC-BG=10-5k，∠EFC=∠BEF=90°．
∴在Rt△CFG中，GF=8-4k，CF=6-3k，
∴C_△BEG+C_△CFG=（BE+EG+BG）+（CF+FG+CG）=（3k+4k+5k）+（6-3k+8-4k+10-5k）
=24；

（2）①當0＜BE＜6，即點G在線段BC上時，設BE=3k，
∵tan∠B=

4

3

，
∴EG=4k，BG=5k，CG=10-5k，CD=AB=8．
∵∠A=∠DCG，
∴要使△AED與△CGD相似，需滿足

AE

CG

=

AD

CD

或

AE

CD

=

AD

CG

．
當

AE

CG

=

AD

CD

時，

8-3k

10-5k

=

10

8

，
解得k=

18

13

，
此時，BE=

54

13

，滿足0＜BE＜6．
當

AE

CD

=

AD

CG

時，

8-3k

8

=

10

10-5k

，
解得k₁=0或  k2=

14

3

…（8分）
此時，BE=0或14，不滿足0＜BE＜6；
∴當 BE=

54

13

時，△AED與△CGD相似．
②當BE=6，即點G與點C重合時，不存在△CGD與△AED相似．
③當6＜BE＜8，即點G在射線BC上時，如圖2，
∵AB∥CD，AD∥BC，∠B是銳角
∴∠A是鈍角，
又∵∠DCG=∠B，
∴∠DCG也是銳角，
∴∠A≠∠DCG．
∵∠DCB＞∠CDG，∠DCB＞∠DGC，
又∵∠A=∠DCB
∴∠A≠∠CDG，且∠A≠∠DGC，
∴當6＜BE＜8時，不存在△CGD與△AED相似．
綜上所述，當BE=

54

13

時，△AED與△CGD相似．

點評：本題考查了相似綜合題．此題涉及到的知識點有平行四邊形的性質、矩形的判定與性質、勾股定理以及銳角三角函數的定義．解答（2）時，要分類討論，以防漏解．