Question

已知，凸4n+2邊形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然數）各內角都是30°的整數倍，又關于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0 x2+2xsinA2+sinA3=0 x2+2xsinA3+sinA1=0

均有實根，求這凸4n+2邊形各內角的度數．

Answer 1

∵各內角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取

1

2

，

3

2

，1，
若sinA₁=

1

2

，
∵sinA₂≥

1

2

，sinA₃≥

1

2

，
∴方程①的判別式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤4（

1

4

-

1

2

）＜0，
方程①無實根，與已知矛盾，
故sinA₁≠

1

2

，
同理sinA₂≠

1

2

，sinA₃≠

1

2

，
若sinA₁=

3

2

，則sinA₂≥

3

2

，sinA₃≥

3

2

，
∴方程①的判別式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=4•（

3

4

-

3

2

）＜0，方程①無實根，與已知矛盾，
∴sinA₁≠

3

2

，同理sinA₂≠

3

2

，sinA₃≠

3

2

，
綜上，sinA₁=1，A₁=90°，
這樣，其余4n-1個內角之和為4n×180°-3×90°=720°•n-270°，這些角均不大于150°，
∴720°•n-270°≤（4n-1）•150°，
故n≤1，又n為正整數，
∴n=1，即多邊形為凸六邊形，且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°，
∵A₄，A₅，A₆≤150°，
∴A₄=A₅=A₆=150°．