Question

拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=1．且A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在對(duì)稱軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵A、B兩點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，且A（-1，0），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
根據(jù)題意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小．
A點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
∴

3k+b=0 b=-3

∴k=1，b=-3，
即BC的解析式為y=x-3．
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．