Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點F，連接CF．

（1）求證：BF＝2AE；
（2）若CD＝ ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，∴ ∠ABD=∠BAD=45°．∴ AD=BD．

∵ AD⊥BC，BE⊥AC，

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o

∴ ∠CAD=∠CBE．

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF． ∴ AC=BF．

∵ AB=BC，BE⊥AC，

∴ AE=EC，即AC＝2AE．∴ BF＝2AE

（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD= ．

∴ 在Rt△CDF中，CF＝ ＝2．

∵ BE⊥AC，AE=EC，∴ AF=FC=2．

∴ AD=AF+DF=2+

【解析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD=BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用ASA證明 △ADC≌△BDF．根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC=2AE，從而得證；
（2）根據全等三角形對應邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據AD=AF+DF代入數據即可得解