Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°， 點D在AB上，且CD=BD.

(1)求證:點D是AB的中點.

(2)以CD為對稱軸將△ACD翻折至△A'CD，連接BA'，若∠DBC=a，求∠CB A'的度數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a

【解析】

（1）利用等邊對等角易得∠DBC=∠DCB，再由等角的余角相等，可推出∠A=∠DCA，即可得證.

（2）利用三角形外角性質可得∠ADC=2a，根據折疊可得AD=A'D，∠ADA'=2a，然后求出∠A'DB，再由等腰三角形底角相等，可求出∠DBA'，減去a即為∠CB A'

（1）證明：∵CD=BD，

∴∠DBC=∠DCB

∵∠DBC+∠A=90°，∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠A=∠ACD

∴CD=AD=BD

∴點D是AB的中點

（2）解：∵CD=BD

∴∠DCB=∠DBC=a，

∴∠ADC=∠DCB+∠DBC =2a

折疊可得AD=A'D，∠ADA'=2a

∴∠A'DB=180°-∠ADC-∠ADA'=180°-4a

由（1）可知AD=BD，∴A'D=BD

∴△A'DB為等腰三角形，

∴∠DBA'=

∴∠CB A'=∠DBA'-∠DBC=a

故∠CB A'的度數為a.