Question

【題目】如圖①,在菱形中, ，.點從點出發以每秒2個單位的速度沿邊向終點運動，過點作交邊于點，過點向上作，且，以、為邊作矩形.設點的運動時間為（秒），矩形與菱形重疊部分圖形的面積為.

（1）用含的代數式表示線段的長.

（2）當點落在邊上時，求的值.

（3）當時，求與之間的函數關系式，

（4）如圖②,若點是的中點，作直線.當直線將矩形分成兩部分圖形的面積比為時，直接寫出的值

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4） 或 ．

【解析】

（1）由菱形性質得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等邊三角形，證出△APQ是等腰三角形，得出PF=QF，PF=PAsin60°=t，即可得出結果；

（2）當點M落在邊BC上時，由題意得：△PDN是等邊三角形，得出PD=PN，由已知得PN=PQ=3t，得出PD=3t，由題意得出方程，解方程即可；

（3）當0＜t≤時，PQ=2t，PN=PQ=3t，S=矩形PQMN的面積=PQ×PN，即可得出結果；當＜t＜1時，△PDN是等邊三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=NE=（5t-4），S=矩形PQMN的面積-2△EFN的面積，即可得出結果；

（4）分兩種情況：當0＜t≤時，△ACD是等邊三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是△MNH的中位線，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面積關系得出方程，解方程即可；

當＜t≤2時，由平行線得出△OEF∽△MEQ，得出，即，解得EF=，得出EQ=，由三角形面積關系得出方程，解方程即可．

（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，

∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等邊三角形，

∴∠CAD=60°，

∵PQ⊥AC，

∴△APQ是等腰三角形，

∴PF=QF，PF=PAsin60°=2t×=t，

∴PQ=2t；

（2）當點M落在邊BC上時，如圖2所示：

由題意得：△PDN是等邊三角形，

∴PD=PN，

∵PN=PQ=×2t=3t，

∴PD=3t，

∵PA+PD=AD，

即2t+3t=4，

解得：t=．

（3）當0＜t≤時，如圖1所示：

PQ=2t，PN=PQ=×2t=3t，

S=矩形PQMN的面積=PQ×PN=2t×3t=6t2；

當＜t＜1時，如圖3所示：

∵△PDN是等邊三角形，

∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，

∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，

∴FN=NE=（5t-4），

∴S=矩形PQMN的面積-2△EFN的面積=6t2-2××（5t-4）2=-19t2+40t-16，

即S=-19t2+40t-16；

（4）分兩種情況：當0＜t≤時，如圖4所示：

∵△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=4，

∵O是AC的中點，

∴OA=2，OG是△MNH的中位線，

∴OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4，

∴△MNH的面積=MN×NH=×2t×（8t-4）=×6t2，

解得：t=；

當＜t≤2時，如圖5所示：

∵AC∥QM，

∴△OEF∽△MEQ，

∴，即，

解得：EF=，

∴EQ=，

∴△MEQ的面積=×3t×（）=×6t2，

解得：t=；

綜上所述，當直線OM將矩形PQMN分成兩部分圖形的面積比為1：2時，t的值為或．