Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC中邊AB=10，按要求解答：

（1）尺規作圖：作∠PBA，使得∠PBA=30°，射線BP交邊AC于點P，（不寫作法，保留作圖痕跡）．

（2）在上圖中，若點D在射線BP上，且使得AD=5，求BD的長（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）BD長為5-5或5+5．

【解析】

（1）B為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交BC和BA于點M、N，分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于一點，連接B和該點交AC于點P即可；

（2）根據三線合一可得BP⊥AC，從而求出BP和AP，然后根據點D的位置分類討論，根據勾股定理求出PD，即可求出結論．

解：（1）B為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交BC和BA于點M、N，分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧交于一點，連接B和該點交AC于點P，根據等邊三角形的性質和角平分線的定義可得∠PAB=30°，如圖所示，點P即為所求．

（2）∵△ABC為等邊三角形，∠PBA=30°，

∴BP平分∠ABC，

∴BP⊥AC，

在Rt△ABP中，BP=AP=5，

AP=AB=5＜5，

∴分兩種情況，

1）若D在線段BP上，

在Rt△ADP中，PD===5，

此時BD=BP-PD=5-5；

2）若D在BP延長線上，由1）可知PD=5，

∴BD=PD+BP=5+5，

綜上：BD長為5-5或5+5．