Question

閱讀以下材料，并解答以下問題．
“完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計數原理；完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計數原理．”如完成沿圖1所示的街道從A點出發向B點行進這件事（規定必須向北走，或向東走），會有多種不同的走法，其中從A點出發到某些交叉點的走法數已在圖2填出．
（1）根據以上原理和圖2的提示，算出從A出發到達其余交叉點的走法數，將數字填入圖2的空圓中，并回答從A點出發到B點的走法共有多少種？
（2）運用適當的原理和方法算出從A點出發到達B點，并禁止通過交叉點C的走法有多少種？
（3）現由于交叉點C道路施工，禁止通行．求如任選一種走法，從A點出發能順利開車到達B點（無返回）概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根據完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，則到達A點以外的任意交叉點的走法數只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數字之和．從而計算出從A點到達其余各交叉點的走法數；
（2）此題有兩種計算方法：方法一是先求從A點到B點，并經過交叉點C的走法數，再用從A點到B點總走法數減去它；方法二是刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法；
（3）結合（1）和（2）的結論，即可求得概率．

解答：解：（1）∵完成從A點到B點必須向北走，或向東走，
∴到達A點以外的任意交叉點的走法數只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數字之和，
故使用分類加法計數原理，由此算出從A點到達其余各交叉點的走法數，填表如圖1．
答：從A點到B點的走法共有35種．

（2）方法一：可先求從A點到B點，并經過交叉點C的走法數，再用從A點到B點總走法數減去它，即得從A點到B點，但不經過交叉點C的走法數．
完成從A點出發經C點到B點這件事可分兩步，先從A點到C點，再從C點到B點，
使用分類加法計數原理，算出從A點到C點的走法是3種，見圖2；算出從C點到B點的走法為6種，見圖3，再運用分步乘法計數原理，得到從A點經C點到B點的走法有3×6=18種．
∴從A點到B點但不經過C點的走法數為35-18=17種．

方法二：由于交叉點C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法有17種．從A點到各交叉點的走法數見圖4，
∴從A點到B點并禁止經過C點的走法數為35-18=17種．

（3）P（順利開車到達B點）=

17

35

．
答：任選一種走法，順利開車到達B點的概率是

17

35

．

點評：能夠根據題意中的方法進行計算，掌握這兩種不同的計算方法可以使此類題的計算過程更簡便．