Question

【題目】問題探究：
【1】新知學習
⑴梯形的中位線：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．
⑵梯形的中位線性質：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．
⑶形如分式 （m為常數，且m＞0），若x＞0，則 ，并且有下列結論：
當x 逐漸增大時，分母x+2m逐漸增大，分式 的值逐漸減少并趨于0，但仍大于0．當x 逐漸減少時，分母x+2m逐漸減少，分式 的值逐漸增大并趨于 ，即趨于 ，但仍小于 ．
【2】問題解決
如圖2，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）設AD=7，BC=17，求 的值．
（2）設AD=a（a為正的常數），BC=x，請問：當BC的長不斷增大時， 的值能否大于或等于3，試證明你的結論．
（3）進一步猜想：任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是什么，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，

∵E、F分別是AB、CD的中點，

∴EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）= （7+17）=12，

∴ = =

（2）

解：當BC的長不斷增大時， 的值不能大于或等于3；理由如下：

∵E、F分別是AB、CD的中點，

∴EF是梯形ABCD的中位線，

∴EF= （AD+BC）= （a+x），

由（1）得： = = ，

當BC的長x不斷增大時， 的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；

∴當BC的長不斷增大時， 的值不能大于或等于3

（3）

解：任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3；理由如下：

由（2）得： = ＜3，當x 逐漸減少時，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，

則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，

∴ = 的值趨于1，但大于1，

∴1＜ ＜3，

故任何一個梯形的中位線所分成的兩部分圖形的面積的比值所在的范圍是大于1而小于3

【解析】問題解決（1）設梯形ADFE的高為h，則梯形BCFE的高為h，證出EF是梯形ABCD的中位線，由梯形中位線定理得出EF∥AD∥BC，EF= （AD+BC）=12，由梯形面積公式即可得出答案；（2）由梯形中位線定理得出EF= （AD+BC）= （a+x），由（1）得： = = ，當BC的長x不斷增大時， 的分子a+3x逐漸增大并趨于，即趨于3，但仍小于3；（3）由（2）得： = ＜3，當x 逐漸減少時，分母3a+x逐漸減少，x趨于a，則a+3x趨于4a，3a+x趨于4a，得出 = 的值趨于1，但大于1，即可得出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用梯形的中位線的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半．