Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：如果矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形．例如，下圖中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是點A，B，C的覆蓋矩形，其中矩形AB3C3D3是點A，B，C的最優覆蓋矩形．

（1）已知A(2，3)，B(5，0)，C(， 2)．

①當時，點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為 ；

②若點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為40，則t的值為 ；

（2）已知點D(1，1)，點E(， )，其中點E是函數的圖像上一點，⊙P是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形的外接圓，求出⊙P的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①35；②②t ＝－3或6；（2）

【解析】試題分析：（1）①由矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形，得出最優覆蓋矩形的長為：2+5=7，寬為3+2=5，即可得出結果；

②由定義可知，t=-3或6；

（2）OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形，OD所在的直線表達式為y=x，得出點E的坐標為（2，2），⊙H的半徑最小r=，當點E的縱坐標為1時，⊙H的半徑最大r=，即可得出結果；

試題解析：

解：（1）：（1）①∵A（-2，3），B（5，0），C（2，-2），矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形，
∴最優覆蓋矩形的長為：2+5=7，寬為3+2=5，
∴最優覆蓋矩形的面積為：7×5=35；

②∵點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為40，
∴由定義可知，t=-3或6，

（2）如圖1，OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形，

∵點D（1，1），

∴OD所在的直線表達式為y＝x，

∴點E的坐標為（2，2），

∴OE=，

∴⊙H的半徑r ＝，

如圖2，

∵當點E的縱坐標為1時，1＝，解得x＝4，

∴OE==，

∴⊙H的半徑r =，

∴．