Question

等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM、PN分別交邊AB、AC于點E、F．
（1）如圖1，若點P在BC邊上運動，且保持PE⊥AB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長．

Answer 1

分析：（1）設BP=x，則CP=6-x，由PE⊥AB，∠B=60°，可知∠BPE=30°，故可得出BE及PE的長，再由三角形的面積公式可求出△BPE的面積，同理可求出△CFP的面積，由S_{四邊形AEPF}=S_△BPE-S_△CFP即可得出結論；
（2）先證明△BPE∽△CFP，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得BP的長，進而即可求得PE的長．

解答：解：（1）設BP=x，則CP=6-x．
∵PE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=

x

2

，PE=

3

2

x，
∴S_△BEP=

1

2

BE•PE=

1

2

×

x

2

×

3

2

x=

3

8

x²，
同理，在Rt△CFP中，PF=

3

（6-x）
∴S_△CFP=

1

2

PC•PF=

1

2

（6-x）×

3

（6-x）=

3

2

（6-x）²，
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

×6×3

3

=9

3

，
設四邊形AEPF的面積為y．
∴y=9

3

-

3

8

x²-

3

2

（6-x）²=-

5 3

8

x²+6

3

x-9

3

；
∵當x=3時，四邊形AEPF不存在，
∴自變量x的取值范圍為3＜x＜6；

（2）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴

BP

CF

=

BE

CP

，
設BP=x，則CP=6-x．
∴

x

2

=

4

6-x

，
解得：x=2或4．
當x=2時，在△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=2，
∴PE=2

3

；
當x=4時，在三角形△BEP中，
∵∠B=60°，BE=4，BP=4，
∴△BEP是等邊三角形，
∴PE=4．
∴PE的長為4或2

3

．

點評：本題考查的是相似形綜合題，此題涉及到等邊三角形的性質、解直角三角形及相似三角形的判定與性質，有一定的綜合性，難度適中．