Question

（2010•奉賢區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B、C在y軸上，BC=8，AB=AC，直線AB與x軸相交于點(diǎn)D，
（1）求C、D的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式；
（3）求∠CAD的正弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作BC的垂線，設(shè)垂足為H；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到BH、CH的長(zhǎng)，根據(jù)H點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到B、C的坐標(biāo)；由于AH∥OD，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求出OD的長(zhǎng)，也就能得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法即可求出經(jīng)過A、C、D的二次函數(shù)的解析式；
（3）欲求∠CAD的正弦值，需將∠CAD構(gòu)建到一個(gè)直角三角形中，過C作AD的垂線，設(shè)垂足為E；在Rt△ABH中，根據(jù)勾股定理可求得AB、AC的長(zhǎng)；以AB為底、CE為高，以BC為底、AH為高都可以求出△ABC的面積，那么根據(jù)其面積的不同表示方法即可求出線段CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ACE中求出∠CAD的正弦值．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H（1分）
∵A的坐標(biāo)為（2，2），AB=AC，BC=8，
∴BH=CH=4，
∴B（0，6），C（0，-2）（2分）
∵AH∥OD，
∴
∴，
∴OD=3
∴D（3，0）（1分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（2，2）、C（0，-2）、D（3，0）；
根據(jù)題意可得：，
解得：；（3分）
所以所求的二次函數(shù)解析式為；（1分）

（3）過點(diǎn)C作CE⊥AB于E（1分）
∵
又∵AB=，BC=8，AH=2
∴（2分）
在Rt△CAE中，sin∠CAD=．（1分）
（用其他方法求得CE的也得3分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、二次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．