Question

已知關于x的方程x²-2bx+a-4b=0，其中a、b為實數．
（1）若此方程有一個根為a²（a≠0），求代數式

4b-a

a2

-a2+2b+8的值；
（2）若對于任何實數b，此方程都有實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a²（a≠0）代入方程，然后整理求值即可；
（2）根據題意，根的判別式△=b²-4ac=4b²-4a+16b≥0，繼而進行判斷求解即可．

解答：解：（1）∵方程x²-2bx+a-4b=0有一個根為a²（a≠0），
∴a⁴-2ba²+a-4b=0，
等式兩邊同除以a²，整理得：

4b-a

a2

-a²+2b=0，
∴代數式

4b-a

a2

-a2+2b+8=8；

（2）△=4b²-4（a-2b）=4b²-4a+16b，
∵對于任何實數a，此方程都有實數根，
∴對于任何實數a，都有4b²-4a+16b≥0，即b²-a+4b≥0，
∴對于任何實數a，都有a≤b²+4b，
∵b²+4b=（b+2）²-4，
當b=-2時，b²+4b有最小值為-4，
∴a的取值范圍是：a≤-4．

點評：本題考查了根的判別式、根與一元二次方程系數的關系及二次函數的最值等知識點，是一道小的綜合題，難度適中．