Question

（1）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數為：1+2+3+…+n=

 

；


（2）運用第（1）題的結論，試求1+2+3+…+99的值；
（3）在一次數學活動中，為了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值，小明設計了如圖3所示的邊長為1的正方形圖形．請你利用這個幾何圖形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

的值為

 

；
（4）運用第（3）題的結論，試求

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

的值．

Answer 1

分析：（1）看圖2可得圓圈共有n層，每層有（n+1）個，求得n層圓圈的個數，除以2即可；
（2）利用（1）得到的公式計算即可；
（3）讓最大的正方形的面積減去最小的長方形的面積即可；
（4）先整理為分子為1的形式，進而整理為分母為底數為2的冪的形式，利用（3）的結論作答即可．

解答：解：（1）平行四邊形中圓圈的個數為n（n+1），
∴圖1中所有圓圈的個數為：1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
故答案為

n(n+1)

2

；
（2）1+2+3+…+99=

99×100

2

=4950；
（3）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

=1-

1

2n

，
故答案為1-

1

2n

；
（4）

5

6

+

11

12

+

23

24

+

47

48

+

95

96

+

191

192

=1-

1

6

+1-

1

12

+1-

1

24

+1-

1

48

+1-

1

96

+1-

1

192

=6-

1

3

（

1

2

+

1

22

+…+

1

26

）=6-

1

3

×（1-

1

26

）=

363

64

．

點評：考查有關規律性的計算；根據所給圖形得到計算的規律是解決本題的關鍵．