Question

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．點M從A開始，以每秒1個單位的速度向點B運動；點N從點C出發，沿C→D→A方向，以每秒1個單位的速度向點A運動，若M、N同時出發，其中一點到達終點時，另一個點也停止運動．運動時間為t秒，過點N作NQ⊥CD交AC于點Q．
（1）設△AMQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．
（2）在梯形ABCD的對稱軸上是否存在點P，使△PAD為直角三角形？若存在，求點P到AB的距離；若不存在，說明理由．
（3）在點M、N運動過程中，是否存在t值，使△AMQ為等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出t的臨界點t=2，分別求出當0＜t≤2時和2≤t＜4時，S與t的函數關系式即可，
（2）作梯形對稱軸交CD于K，交AB于L，分3種情況進行討論，①取AD的中點G，②以D為直角頂點，③以A為直角頂點，
（3）當0＜t≤2時，若△AMQ為等腰三角形，則MA=MQ或者AQ=AM，分別求出t的值，然后判斷t是否符合題意．

解答：解：（1）當0＜t≤2時，
如圖：過點Q作QF⊥AB于F，過點C作CE⊥AB于E，
∵AB∥CD，
∴QF⊥CD，
∵NQ⊥CD，
∴N，Q，F共線，
∴△CQN∽△AFQ，
∴

CN

AF

=

NQ

QF

，
∵CN=t，AF=AE-CN=3-t，
∵NF=

3

，
∴QF=

3

-

3

3

t，
∴S=

1

2

•t•（

3

-

3

3

t），
∴S=-

3

6

t²+

3

2

t，
當2≤t＜4時，
如圖：△FQC∽△PQA，
∵DN=t-2，
∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=

1

2

（t-2），
∴FC=CD+FD=2+

1

2

（t-2）=

1

2

t+1，
∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（

1

2

t+1）•

3

3

=

3

6

（t+2），
∴PQ=PF-FQ=

3

-

3

6

（t+2），
可得QP=

3

-

3

6

（t+2），
S=

1

2

•t•[

3

-

3

6

（t+2）]，
∴S=-

3

12

t²+

3

3

t；

（2）作梯形對稱軸交CD于K，交AB于L，
情況一：取AD的中點G，GD=1，
過G作GH⊥對稱軸于H，GH=1.5，
∵1.5＞1，
∴以P為直角頂點的Rt△PAD不存在，
情況二：以D為直角頂點：KP₁=

3

3

，
∴P₁L=

2

3

3

，
況三：以A為直角頂點，LP₂=

2

3

3

，
綜上：P到AB的距離為

2

3

3

時，△PAD為Rt△，

（3）0＜t≤2時，若MA=MQ，
則：

3

2

t=

3

-

3 3

2

t，
∴t=

6

5

，
若AQ=AM，則t=2

3

-

2 3

3

t，
解得t=12-6

3

，
若QA=QM，則∠QMA=30°
而0＜t≤2時，∠QMA＞90°，
∴QA=QM不存在；
2≤t＜4（圖中）
若QA=QM，AP：AD=

3

：2，
∴t=2，
若AQ=AM，2

3

-

3

3

（t+2）=t，
∴t=2

3

-2，
∵2

3

-2＜2，
∴此情況不存在若MA=MQ，則∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．
綜上：t=

6

5

，12-6

3

，2時，△AMQ是等腰三角形．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質的知識點，此題綜合性很強，把圖形的變換放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性質結合已知條件探究圖形的變換，根據變換的圖形的性質求出運動時間．