Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

（3）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3，；（2）M（﹣1，2）；（3）P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．

【解析】（1）依題意得：，解得：，∴拋物線解析式為．

∵對稱軸為x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解得：，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（﹣1，2）；

（3）設P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴=18，==，==；

①若點B為直角頂點，則，即：解之得：t=﹣2；

②若點C為直角頂點，則，即：，解之得：t=4；

③若點P為直角頂點，則，即：，解之得：，；

綜上所述P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．