Question

【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在直線PQ上運動，點B在直線MN上運動．
（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A，B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明變化的情況；若不發生變化，試求出∠AEB的大�。�
（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點A，B在運動的過程中，∠CED的大小是否會發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，試求出其值．
（3）如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于E，F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AEB的大小不變，

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，

∴∠BAE= ∠OAB，∠ABE= ∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE= （∠OAB+∠ABO）=45°，

∴∠AEB=135°

（2）解：∠CED的大小不變．

延長AD、BC交于點F．

∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠MBA=270°，

∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，

∴∠BAD= ∠BAP，∠ABC= ∠ABM，

∴∠BAD+∠ABC= （∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠F=45°，

∴∠FDC+∠FCD=135°，

∴∠CDA+∠DCB=225°，

∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，

∴∠CDE+∠DCE=112.5°，

∴∠E=67.5°

（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，

∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO= （∠BOQ﹣∠BAO）= ∠ABO，

∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，

∵有一個角是另一個角的3倍，故有：

①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；

②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；

③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．

∴∠ABO為60°或45°

【解析】（1）根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE= ∠OAB，∠ABE= ∠ABO，由三角形內角和定理即可得出結論；（2）延長AD、BC交于點F，根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，進而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，可知∠BAD= ∠BAP，∠ABC= ∠ABM，由三角形內角和定理可知∠F=45°，再根據DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°，進而得出結論；（3）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的“三線”的相關知識，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內，以及對三角形的內角和外角的理解，了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．