Question

3．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑作⊙O，⊙O分別與其它兩邊交于點D、點E，過點E作EF⊥AC于點F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為6，求EF的長；
（3）在第（2）小題的情形下，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OE，要證明EF為⊙O的切線只要證明∠FEO=90°即可；
（2）由已知可得到AB的長，從而利用解直角三角形求得EF的長；
（3）連接OD，求得AF，FD的長，從而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得陰影部分的面積．

解答 （1）證明：連接EO，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵OA=OE，
∴△OBE是等邊三角形，
∴∠BEO=60°，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°-∠A=30°，
∴∠FEO=180°-∠BEO-∠AEF=90°，
∴EF為⊙O的切線；

（2）解：∵△OBE是等邊三角形，
∴BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AE=AB-BE=3，
Rt△AEF中，
∵∠AEF=30°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；

（3）解：連接OD，由（2）同理可知AD=3，
∴AF=DF=$\frac{3}{2}$，
∴S_{直角梯形FDOE}=$\frac{1}{2}$（DF+OE）•EF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+3）×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27}{8}$$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OED=$\frac{69π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$，
∴S_陰影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$-$\frac{3π}{2}$．

點評 此題考查了切線的判定，等邊三角形的性質，以及扇形面積求法，其中切線的判定方法為：有點連接證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于半徑．