Question

25、已知：兩個正整數的和與積相等，求這兩個正整數．
解：不妨設這兩個正整數為a、b，且a≤b．
由題意，得ab=a+b，（*）
則ab=a+b≤b+b=2b，所以a≤2，
因為a為正整數，所以a=1或2，
①當a=1時，代入等式（*），得1•b=1+b，b不存在；
②當a=2時，代入等式（*），得2•b=2+b，b=2．
所以這兩個正整數為2和2．
仔細閱讀以上材料，根據閱讀材料的啟示，思考是否存在三個正整數，它們的和與積相等試說明你的理由．

Answer 1

分析：設出3個正整數，得到等量關系abc=a+b+c，根據a≤b≤c，得到ab≤3，再判斷出a，b，c的整數值即可．

解答：解：假設存在三個正整數，它們的和與積相等，
不妨設這三個正整數為a、b、c，且a≤b≤c，則abc=a+b+c（※）
所以abc=a+b+c≤c+c+c=3c，所以ab≤3，
若a≥2，則b≥a≥2，所以ab≥4，與ab≤3矛盾．
因此a=1，b=1或2或3，
①當a=1，b=1時，代入等式（※）得1+1+c=1•1•c，c不存在．
⑦當a=1，b=2時，代入等式（※）得1+2+c=1•2•c，c=3．
③當a=1，b=3時，代入等式（※）得1+3+c=1•3•c，c=2，與b≤c矛盾，舍去．
所以a=1，b=2，c=3，因此假設成立，即存在三個正整數，它們的和與積相等．

點評：本題考查用類比法求解．注意仿照所給范例的做法，分別設這三個正整數為a、b、c，且a≤b≤c，再根據題例進行證明即可．此類題目比較簡單，考查了學生對所學知識的應用能力．