Question

20．定義：如圖1，D，E在△ABC的邊BC上，若△ADE是等邊三角形則稱△ABC可內嵌，△ADE叫做△ABC的內嵌三角形．
（1）直角三角形不一定可內嵌．（填寫“一定”、“一定不”或“不一定”）
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，△ADE是△ABC的內嵌三角形，試說明AB²=BD•BC是否成立？如果成立，請給出證明；如果不一定成立，請舉例說明．
（3）在（2）的條件下，如果AB=1，AC=2，求△ABC的內嵌△ADE的邊長 

Answer 1

分析 （1）當直角三角形是等腰直角三角形時可內嵌，所以直角三角形不一定可內嵌．
（2）根據三角形相似的判定方法，判斷出△BDA∽△BAC，即可推得AB²=BD•BC．
（3）根據△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，判斷出△BDA∽△AEC，求出DE、CE和x的關系，求出△ABC的內嵌△ADE的邊長是多少即可．

解答 解：（1）當直角三角形是等腰直角三角形時可內嵌，
∴直角三角形不一定可內嵌．

（2）∵△ADE是△ABC的內嵌三角形，
∴△ADE是正三角形，
∴∠ADE=60°，
在△ADB和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BAC=120°}\\{∠B=∠B}\end{array}\right.$
∴△BDA∽△BAC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
即AB²=BD•BC．

（3）設BD=x，
∵△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，
∴△BDA∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{AE}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{DE}$，
即DE=2x，
同理CE=4x，
∴1²=x﹒7x，
∴7x²=1，
解得x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴△ABC的內嵌△ADE的邊長是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案為：不一定．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．