Question

如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標（3，3），將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的
延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由；
（3）當∠1=∠2時，求直線PE的解析式．

Answer 1

（1）證明見解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP，理由見解析（3）y=x﹣1

解：（1）證明：∵∠AOG=∠ADG=90°，
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，
∴△AOG≌△ADG（HL）。
（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：
由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP。
∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。
∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。
∴PG=DG+DP=OG+BP。
（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=，
∴G點坐標為：（，0），CG=3﹣。
在Rt△PCG中，PC=，∴P點坐標為：（3，）。
設直線PE的解析式為y=kx+b，
則，解得。
∴直線PE的解析式為y=x﹣1。
（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可證△AOG≌△ADG。
（2）利用（1）的方法，同理可證△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度數；根據兩對全等三角形的性質，可得出線段OG、PG、BP之間的數量關系。
（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，當∠1=∠2時，可證∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，確定P、G兩點坐標，得出直線PE的解析式。