Question

現有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長為c的正方形）．

（一）觀察：
從整體看，圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為（a+b）²，結論①依據整個圖形的面積等于各部分面積的和．
圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數式表示為：

a²+b²+2ab

，結論②
圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數式表示為：

c²+2ab

，結論③
（二）思考：
結合結論①和結論②，可以得到一個等式

（a+b）²=a²+b²+2ab

；
結合結論②和結論③，可以得到一個等式

a²+b²=c²

；
（三）應用：
請你運用（二）中得到的結論任意選擇下列兩個問題中的一個解答：
（1）求1.46²+2×1.46×2.54+2.54²的值；
（2）若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個半圓的面積分別記作S₁、S₂、S₃，且S₁+S₂+S₃=20，求S₂的值．
（四）延伸（本題作為附加題，做對加2分）
若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，則表示圖中陰影部分面積和的數值是：

A

  A．有理數     B．無理數     C．無法判斷
請作出選擇，并說明理由．

Answer 1

分析：（一）圖2的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上兩個正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積；
（二）根據兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解；
（三）（1）利用結論①進行計算即可得解；
（2）根據結論②求出S₁+S₃=S₂，然后進行計算即可得解；
（四）根據結論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計算即可得解．

解答：解：（一）圖2：a²+b²+4×

1

2

ab=a²+b²+2ab；
圖3：c²+4×

1

2

ab=c²+2ab；

（二）結合結論①和結論②，可以得到一個等式：（a+b）²=a²+b²+2ab；
結合結論②和結論③，可以得到一個等式：（a+b）²=c²+2ab，
即，a²+b²=c²；

（三）（1）1.46²+2×1.46×2.54+2.54²，
=（1.46+2.54）²，
=4²，
=16；

（2）S₁=

1

2

π（

b

2

）²=

πb2

8

，S₂=

1

2

π（

c

2

）²=

πc2

8

，S₃=

1

2

π（

a

2

）²=

πa2

8

，
∵a²+b²=c²，
∴S₁+S₃=

πb2

8

+

πa2

8

=

π(a2+b2)

8

=

πc2

8

=S₂，
∵S₁+S₂+S₃=20，
∴2S₂=20，
解得S₂=10；

（四）陰影部分面積和=S₁+S₂+

1

2

ab-S₃=

1

2

ab，
∵a=5，b=12，
∴陰影部分面積和=

1

2

×5×12=30，
∵30是有理數，
∴選A．
故答案為：（一）a²+b²+2ab，c²+2ab；（二）（a+b）²=a²+b²+2ab，a²+b²=c²；（四）A．

點評：本題考查了勾股定理，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準確表示出同一個圖形的面積是解題的關鍵．