Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A出發，沿AB以4cm/s的速度向點B運動；同時點Q從C點出發，沿CA以3cm/s的速度向A點運動．設運動時間為x（s）．
（1）當x為何值時，PQ∥BC；
（2）當△APQ與△CQB相似時，AP的長為；
（3）當S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x

∴ =

∴x=

（2）解：假設兩三角形可以相似， 情況1：當△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ，
即有 = 解得x= ，
經檢驗，x= 是原分式方程的解．
此時AP= cm，
情況2：當△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP，
即有 = 解得x=5，
經檢驗，x=5是原分式方程的解．
此時AP=20cm．
綜上所述，AP= cm或AP=20cm；
故答案為： cm或20cm
（3）解：當S△BCQ：S△ABC=1：3時， = ，

∴ ，

∴CQ：AC=1：3，AC=30，∴CQ=10=3x，x= ，∴AP=4x= ，

∴AP：AB= ：20=2：3．

【解析】（1）當PQ∥BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值．（2）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值；（3）根據等高面積比等于底的比，即可得到結論．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．