Question

【題目】已知：P是正方形ABCD對角線AC上一點，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分別為垂足．

（1）求證：DP=EF．

（2）試判斷DP與EF的位置關系并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）連結PB，由正方形的性質得到BC=DC，∠BCP=∠DCP，接下來證明△CBP≌△CDP，于是得到DP=BP，然后證明四邊形BFPE是矩形，由矩形的對角線相等可得到BP=EF，從而等量代換可證得問題的答案；

（2）延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB．由（1）可知△CBP≌△CDP，依據全等三角形對應角相等可得到∠CDP=∠CBP，由四邊形EPFB是矩形可證明∠CBP=∠FEP，從而得到∠HDP=∠FEP，由∠DPH+∠PDH=90°可證明∠EPG+∠PEG=90°，從而可得到問題答案．

證明：（1）如圖1所示：連結PB．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．

∵在△CBP和△CDP中，，

∴△CBP≌△CDP．

∴DP=BP．

∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠B=90°

∴四邊形BFPE是矩形．

∴BP=EF．

∴DP=EF．

（2）DP⊥EF．

理由：如圖2所示：延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB．

∵△CBP≌△CDP，

∴∠CDP=∠CBP．

∵四邊形BFPE是矩形，

∴∠CBP=∠FEP．

∴∠CDP=∠FEP．

又∵∠EPG=∠DPH．

∴∠EGP=∠DHP．

∵PE⊥AB，AB∥DC

∴PH⊥DC．即∠DHP=90°．

∴∠EGP=∠DHP=90°

∴PG⊥EF，即DP⊥EF．