Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，長方形ABCD的邊AB在y軸正半軸上，頂點A的坐標為（0，2），設頂點C的坐標為（a，b）．

（1）頂點B的坐標為　 ，頂點D的坐標為　 （用a或b表示）；

（2）如果將一個點的橫坐標作為x的值，縱坐標作為y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就說這個點的坐標是方程2x+3y＝12的解．已知頂點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；

（3）在（2）的條件下，平移長方形ABCD，使點B移動到點D，得到新的長方形EDFG，

①這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移　 個單位長度，再向下平移　 個單位長度的兩次平移；

②若點P（m，n）是對角線BD上的一點，且點P的坐標是方程2x+3y＝12的解，試說明平移后點P的對應點P′的坐標也是方程2x+3y＝12的解．

Answer 1

【答案】（1）（0，b），（a，2）；（2）；（3）①3，2；②P′的坐標也是方程2x+3y＝12的解．

【解析】

（1）由題意，結合長方形的性質可得點B和點D的坐標；

（2）因為點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，則將B、D兩點坐標帶入方程2x+3y＝12，得到方程組，求解即可得到答案.

（3）①本題考查平移，利用平移的性質可以得到答案；

②將點P的坐標和P′的坐標代入方程2x+3y＝12，若兩者相等，即可證明.

（1）由A的坐標為（0，2），C的坐標為（a，b），以及長方形ABCD的性質可知，

AB=b,AD=a,則B（0，b），D（a，2），

故答案為（0，b），（a，2）；

（2）∵頂點B和D的坐標都是方程2x+3y＝12的解，

∴，

解得．

（3）在（2）的條件下，平移長方形ABCD，使點B移動到點D，得到新的長方形EDFG，

①這次平移可以看成是先將長方形ABCD向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度的兩次平移；

故答案為3，2；

②點P（m，n）平移后的坐標為（m+3，n﹣2），

∵點P的坐標是方程2x+3y＝12的解，

∴2m+3n＝12，

將P′的坐標代入方程2x+3y＝12， 2（m+3）+3（n﹣2）＝2m+3n＝12，

∴P′的坐標也是方程2x+3y＝12的解．