Question

【題目】如圖1，ABCD為正方形，將正方形的邊CB繞點C順時針旋轉到CE，記∠BCE=α，連接BE，DE，過點C作CF⊥DE于F，交直線BE于H．

（1）當α=60°時，如圖1，則∠BHC= ；

（2）當45°＜α＜90°，如圖2，線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數量關系，請你通過探究，寫出這個關系式： （不需證明）；

（3）當90°＜α＜180°，其它條件不變（如圖3），（2）中的關系式是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認為成立的結論，并簡要證明．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）BH+EH=CH；（3）不成立，BH﹣EH=CH．

【解析】試題分析：（1）作CG⊥BH于G，由正方形的性質和旋轉的性質得出∠BCE=α=60°，CB=CD=CE，由等腰三角形的性質得出∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°，∠ECF=∠DCF=∠DCE，求出∠GCH=（∠BCE+∠DCE）=45°即可；

（2）作CG⊥BH于G，同（1）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質和勾股定理得出CH=GH，由等腰三角形的性質得出BG=EG=BE，即可得出結論；

（3）作CG⊥BH于G，同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，即可得出結論．

試題解析：解：（1）作CG⊥BH于G，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，由旋轉的性質得：CE=CB，∠BCE=α=60°，∴CD=CE，∠BCG=∠ECG=∠BCE=30°．∵CF⊥DE，∴∠ECF=∠DCF=∠DCE，∴∠GCH=（∠BCE+∠DCE）=×90°=45°；故答案為：45°；

（2）BH+EH=CH。理由如下：

作CG⊥BH于G，如圖2所示：

同（1）得：∠BHC=45°，∴△CGH是等腰直角三角形，∴CH=GH．∵CB=CE，CG⊥BE，∴BG=EG=BE，∴BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=CH；

故答案為：BH+EH=CH；

（3）當90°＜α＜180°，其它條件不變，（2）中的關系式不成立，BH﹣EH=CH；理由如下：

作CG⊥BH于G，如圖3所示：

同（2）得：∠BHC=45°，△CGH是等腰直角三角形，CH=GH，BG=EG=BE，∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH．