Question

嘉淇想證明三角形內角和是180°和其他一些的命題．請完成下列一些命題和證明．

（1）怎樣證明三角形內角和是180°呢？

（2）已知命題：等腰三角形底邊上的中線和頂角的角平分線重合，證明這個命題，并寫出它的逆命題，逆命題成立嗎？

命題：　底邊上的中線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形　

證明：　證明：在△ABD和△ACD中，

∵，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD　

由此我們不難發(fā)現：　此命題是互逆命題　

那么怎樣證明呢？請寫出證明過程．（可以畫出作圖痕跡．）

Answer 1

【考點】命題與定理；等腰三角形的性質．

【分析】（1）先寫出已知、證明，過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，利用平行線的性質得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根據平角的定義進行證明；

（2）根據證明的步驟，先寫出已知、求證，再寫出證明過程，最后寫出逆命題即可．

【解答】解：（1）已知：△ABC，如圖1，

求證：∠A+∠B+∠C=180°，

證明：過點C作CD∥AB，點E為BC的延長線上一點，如圖，

∵CD∥AB，

∴∠1=∠A，∠2=∠B，

∵∠C+∠1+∠2=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°．

（2）如圖2，已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，

求證：∠BAD=∠CAD．

證明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD．

它的逆命題是：底邊上的中線和頂角的角平分線重合的三角形是等腰三角形，成立．

【點評】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．本題的關鍵時把三角形三個角的和轉化為一個平角，同時注意文字題證明的步驟書寫．