Question

數(shù)學(xué)家們通過(guò)長(zhǎng)期的研究，得到了關(guān)于“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論：在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中，以圓所圍成的面積最大．
“等周問(wèn)題”雖然較為繁雜，但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí)：
事實(shí)1：等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)圖形為正n邊形時(shí)，其面積最大；
事實(shí)2：等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí)，其面積也越大．
為了理解這些事實(shí)的合理性，曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開(kāi)了下列課題研究．請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問(wèn)題．
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆（可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域）．
（1）如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大？為什么？
（2）如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng)，那么與（1）中的正方形雞場(chǎng)比較，哪個(gè)面積更大？請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2：“等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí)，其面積也越大．”
（3）利用事實(shí)1和事實(shí)2，請(qǐng)對(duì)“等周問(wèn)題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋．
（4）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問(wèn)題：如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻，將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng)，為了使雞場(chǎng)的面積盡量大，所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍（如圖）．你覺(jué)得他講的是否有道理？你有沒(méi)有更好的方法，使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大？如果有，請(qǐng)說(shuō)明你的方法．

Answer 1

（1）設(shè)長(zhǎng)為xm，寬為（50-x）m，則S=x•（50-x）=-（x-25）²+625，所以當(dāng)每條邊長(zhǎng)為25m時(shí)，才能使長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的面積最大；

（2）正五邊形雞場(chǎng)面積更大；
對(duì)于事實(shí)2，我們給出下述證明：

如圖1、2，設(shè)正n邊形A₁A₂A_n與正（n+1）邊形A₁A₂A_n+1的周長(zhǎng)相等，下面我們證明SA1A2…An＜SA1A2…An+1．在邊A₁A₂上任取一點(diǎn)（異于點(diǎn)A₁、A₂），這樣我們可以把A₁A₂A_n看成是（n+1）邊形A₁CA₂A_n，但它顯然不是正（n+1）邊形，它的周長(zhǎng)與正（n+1）邊形A₁A₂A_n+1的周長(zhǎng)相等，根據(jù)事實(shí)1，SA1CA2…An＜SA1A2…An+1，即SA1A2…An＜SA1A2…An+1．
所以，等周長(zhǎng)n邊形的面積，當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí)，其面積也越大；

（3）在周長(zhǎng)相同的情況下，曲線圍成正多邊形面積較大；
正多邊形的邊數(shù)越大，圖形越接近于圓，面積也越大，當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增大時(shí)，正多邊形無(wú)限地接近于圓，面積越來(lái)越接近于一個(gè)固定的值，這個(gè)值就是所圍成的圓的面積；

（4）他講的有道理．
設(shè)寬為xm，長(zhǎng)為（100-2x）m，
則S=x•（100-2x）=-2（x-25）²+1250，
所以當(dāng)長(zhǎng)為寬的2倍時(shí)，才能使長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的面積最大．
有更好的方法：

如圖4，如果將圖1中的點(diǎn)A、D分別向外移動(dòng)．
那么ABCD仍然是四邊形，而將四邊形沿墻反射過(guò)來(lái)，這樣就得到一個(gè)新的封閉六邊形BCDC′B′A，它的周長(zhǎng)等于原籬笆長(zhǎng)度的兩倍．
所以當(dāng)六邊形BCDC′B′A為正六邊形，即AB=BC=CD，且∠BAD=∠CDA=60°，∠ABC=∠DCB=120°時(shí)，六邊形BCDC′B′A的面積最大．
因而其一半即四邊形ABCD的面積也最大．由于周長(zhǎng)相等，
因此圖4中正六邊形BCDC′B′A的面積大于圖3中正方形BCC′B′的面積，
所以圖4中四邊形ABCD的面積大于圖3中四邊形ABCD的面積．