Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M、N是過點A的一條直線，作 BD⊥MN于點D，CE⊥MN于點E。

（1）求證：DE=BD+CE；

（2）當直線MN繞點A旋轉到圖2所示的位置，其他條件不變，則BD與DE、CE的關系如何？請予以證明

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）BD=DE+CE

【解析】試題分析：（1）由題中條件可得Rt△ABD≌Rt△CAE，再由線段之間的關系寫出最終結論即可；
（2）由HL得出Rt△ABD≌Rt△CAE，進而得出BD=AE，AD=CE，再由線段之間的轉化即可得出結論：BD=DE+CE或DE=BD-CE．

試題解析：

（1）∵BD⊥直線MN，CE⊥直線MN，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）關系：BD=DE+CE

證明如下：

∵BD⊥直線MN，CE⊥直線MN，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

∴△ADB≌△CEA

∴AE=BD，AD=CE，

∴BD=AE=DE+AD=DE+CE.