Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與坐標軸分別交于A、B兩點,已知點A的坐標為（0，8）,點B的坐標為(8，0),OC、AD均是△OAB的中線,OC、AD相交于點F,OE⊥AD于G交AB于E.

(1)點C的坐標為__________；

(2)求證：△AFO≌△OEB；

(3)求證：∠ADO＝∠EDB

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（4，4）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出OA，OB進而求出OC，再用待定系數法求出直線AB的解析式，設出點C的坐標，即可得出結論；

（2）先判斷出∠AOC=∠OBA，再利用互余判斷出∠OAD=∠EOD，即可得出結論；

（3）先確定出OE的解析式，進而求出點E的坐標，即可求出直線DE的解析式，進而判斷出OA=OM，即可得出結論．

試題解析：（1）A（0，8），B（0，8），

∴AB=8，OA=OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵OC是△AOB的中線，

∴OC=AB=4，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵B（8，0），A（0，8），

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+8，

設點C（m，-m+8），OC=，

∴m=4

∴C（4，4）；

（2）由（1）知，OC是等腰直角三角形的斜邊的中線，

∴∠AOC=45°=∠OBA，

∵OE⊥AD，

∴∠EOD+∠ODA=90°，

∵∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠OAD=∠EOD，

在△AOF和△OBE中，

，

∴△AOF≌△OBE；

（3）如圖，

∵AD是△AOB的中線，

∴OD=BD，

∵B（8，0），

∴D（4，0），

∴直線AD的解析式為y=-2x+8，

∵OE⊥AD，

∴直線OE的解析式為y=x，

∵點E在直線AB上，

∴，解得， ，

∴E（， ），

∵D（4，0），

∴直線DE的解析式為y=2x-8，

∴OM=8，

∴OA=OM，

∵OB⊥OA，

∴AD=MD，

∴∠ADO=∠MDO．

∵∠EDB=∠MDO，

∴∠ADO=∠EDB．