Question

如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點，將C點折至MN上，落在P點的位置，折痕為BQ，連接PQ．
（1）求MP；
（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于

1

3

．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質，可得BQ垂直平分PC；
進而可得△PBC是等邊三角形，故可得PN的值．
根據圖形的關系可MP=MN-PN，代入數據可得答案；
（2）根據折疊的性質，可得PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°；
再在Rt△BCQ中，根據三角函數的定義可求得PQ的值，進而可得答案．

解答：（1）解：連接BP、PC，由折法知點P是點C關于折痕BQ的對稱點．
∴BQ垂直平分PC，BC=BP．
又∵M、N分別為AD、BC邊上的中點，且ABCD是正方形，
∴BP=PC．
∴BC=BP=PC．
∴△PBC是等邊三角形．
∵PN⊥BC于N，BN=NC=

1

2

BC=

1

2

，∠BPN=

1

2

×∠BPC=30°，
∴PN=

3

2

，MP=MN-PN=

2- 3

2

．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．
在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴PQ=

3

3

．
∴以PQ為邊的正方形的面積為

1

3

．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．