Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．動點P從點B出發沿BC向點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發沿CD向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求AB的長；
（2）設BP=x，問當x為何值時△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點M，使得四邊形PCQM為菱形？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AE⊥BC，根據題意可知BE的長度，再根據∠B的正弦值，即可推出AB的長度；
（2）作QF⊥BC，根據題意推出BP=CQ，推出CP關于x的表達式，然后根據∠C的正弦值推出高QF關于x的表達式，即可推出面積關于x的二次函數式，最后根據二次函數的最值即可推出x的值；
（3）首先假設存在M點，然后根據菱形的性質推出，若存在，則PC=QC，9-x=x，x=

9

2

，得出矛盾，所以假設是錯誤的，故AB上不存在M點．

解答：解：（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=

5 2

2

；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，則△CQF是等腰直角三角形．
∵點P和點Q的運動速度、運動時間相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=

2

2

x，
設△PQC的面積為y，
∴y=（9-x）•

2

2

x•

1

2

，
即y=-

2

4

x2+

9 2

4

x=-

2

4

(x-

9

2

)2+

81 2

16

，
∵AB=

5 2

2

，動點P從點B出發沿BC向點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發沿CD向點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．BP=x，
∴0＜x≤

5 2

2

＜

9

2

，
∴當x=

5 2

2

時，△PQC的面積最大，最大值為：
y=

1

2

PC•QF=

1

2

（9-

5

2

2

）×

5

2

=

45

4

-

25 2

8

；

（3）不存在，
若存在，則PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=

9

2

，
而

9

2

＞

5

2

2

，
∴邊AB上不存在點M，使得四邊形PCQM為菱形．

點評：本題主要考查等腰梯形的性質、解直角三角形、二次函數的最值、內角和定理、菱形的性質，關鍵在于根據圖形畫出相應的輔助線，熟練掌握相關的性質定理即可．